Comprehensive NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1: Real Numbers (Hindi & English)
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1: Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
Chapter Overview / Summary
EN: In this chapter, we explore the properties of real numbers, focusing on the Fundamental Theorem of Arithmetic and the nature of irrational numbers. We learn to find HCF and LCM using prime factorization and prove the irrationality of numbers like √2, √3, and √5.
HI: इस अध्याय में, हम वास्तविक संख्याओं के गुणों का पता लगाते हैं, जो अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और अपरिमेय संख्याओं की प्रकृति पर केंद्रित है। हम अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके HCF और LCM खोजना सीखते हैं और √2, √3, और √5 जैसी संख्याओं की अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।
Exercise Questions & Detailed Solutions
ENExpress 140 as a product of its prime factors.
HI140 को इसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
HI140 को इसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
ENTo find the prime factors of 140:
140 = 2 × 70
140 = 2 × 2 × 35
140 = 2 × 2 × 5 × 7
Thus, 140 = 2² × 5 × 7.
HI140 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए:
140 = 2 × 70
140 = 2 × 2 × 35
140 = 2 × 2 × 5 × 7
अतः, 140 = 2² × 5 × 7.
140 = 2 × 70
140 = 2 × 2 × 35
140 = 2 × 2 × 5 × 7
Thus, 140 = 2² × 5 × 7.
HI140 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए:
140 = 2 × 70
140 = 2 × 2 × 35
140 = 2 × 2 × 5 × 7
अतः, 140 = 2² × 5 × 7.
ENFind the LCM and HCF of 26 and 91 and verify that LCM × HCF = product of the two numbers.
HI26 और 91 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए और जाँच कीजिए कि LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल।
HI26 और 91 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए और जाँच कीजिए कि LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल।
EN1. Prime factorization:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
2. HCF = 13 (common factor)
3. LCM = 2 × 7 × 13 = 182
4. Verification:
LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
Product of numbers = 26 × 91 = 2366
LHS = RHS. Verified.
HI1. अभाज्य गुणनखंडन:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
2. HCF = 13 (उभयनिष्ठ गुणनखंड)
3. LCM = 2 × 7 × 13 = 182
4. जाँच:
LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
LHS = RHS. सिद्ध हुआ।
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
2. HCF = 13 (common factor)
3. LCM = 2 × 7 × 13 = 182
4. Verification:
LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
Product of numbers = 26 × 91 = 2366
LHS = RHS. Verified.
HI1. अभाज्य गुणनखंडन:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
2. HCF = 13 (उभयनिष्ठ गुणनखंड)
3. LCM = 2 × 7 × 13 = 182
4. जाँच:
LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
LHS = RHS. सिद्ध हुआ।
ENProve that √5 is irrational.
HIसिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
HIसिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
ENLet √5 be rational. So, √5 = a/b (where a, b are co-prime and b ≠ 0).
Squaring both sides: 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b².
This means 5 divides a², so 5 divides a. Let a = 5c.
(5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c².
This means 5 divides b², so 5 divides b.
Since a and b have 5 as a common factor, they are not co-prime. Our assumption was wrong. Hence, √5 is irrational.
HIमाना √5 एक परिमेय संख्या है। इसलिए, √5 = a/b (जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं और b ≠ 0)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b²।
इसका अर्थ है कि 5, a² को विभाजित करता है, इसलिए 5, a को भी विभाजित करता है। माना a = 5c।
(5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²।
इसका अर्थ है कि 5, b² को विभाजित करता है, इसलिए 5, b को भी विभाजित करता है।
चूंकि a और b का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है, वे सह-अभाज्य नहीं हैं। हमारी धारणा गलत थी। अतः, √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Squaring both sides: 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b².
This means 5 divides a², so 5 divides a. Let a = 5c.
(5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c².
This means 5 divides b², so 5 divides b.
Since a and b have 5 as a common factor, they are not co-prime. Our assumption was wrong. Hence, √5 is irrational.
HIमाना √5 एक परिमेय संख्या है। इसलिए, √5 = a/b (जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं और b ≠ 0)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b²।
इसका अर्थ है कि 5, a² को विभाजित करता है, इसलिए 5, a को भी विभाजित करता है। माना a = 5c।
(5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²।
इसका अर्थ है कि 5, b² को विभाजित करता है, इसलिए 5, b को भी विभाजित करता है।
चूंकि a और b का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है, वे सह-अभाज्य नहीं हैं। हमारी धारणा गलत थी। अतः, √5 एक अपरिमेय संख्या है।
ENIf two positive integers p and q can be expressed as p = ab² and q = a³b; a, b being prime numbers, then LCM(p, q) is:
HIयदि दो धनात्मक पूर्णांक p और q को p = ab² और q = a³b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; a, b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो LCM(p, q) है:
HIयदि दो धनात्मक पूर्णांक p और q को p = ab² और q = a³b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; a, b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो LCM(p, q) है:
ENLCM is the product of the highest power of each prime factor involved in the numbers.
Highest power of a = a³
Highest power of b = b²
LCM(p, q) = a³b².
HILCM संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है।
a की उच्चतम घात = a³
b की उच्चतम घात = b²
LCM(p, q) = a³b²।
Highest power of a = a³
Highest power of b = b²
LCM(p, q) = a³b².
HILCM संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है।
a की उच्चतम घात = a³
b की उच्चतम घात = b²
LCM(p, q) = a³b²।