Rbse Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

All Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables.

Chapter 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.1 

Q1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा |’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : 

माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष

7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y – 7 वर्ष

स्थित – I

x – 7 = 7(y – 7)

x – 7 = 7y – 49

x – 7y = 7 – 49

x – 7y = – 42   ……… (1)

3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष

स्थित – II

x + 3 = 3(y + 3)

x + 3 = 3y + 9

x – 3y = 9 – 3

x – 3y = 6 ……. (2)

बीजगणितीय रूप में :

x – 7y = – 42   ……… (1)

x – 3y = 6 ……. (2)

​ग्राफीय रूप में प्रदर्शन:

x – 7y = – 42

x = – 42 + 7y

 x -7 0 7
 y 5 6 7

x – 3y = 6

x = 6 + 3y

 x 0 -3 6
 y -2 -3 0

NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.1 1

Q2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदी | बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये

और एक गेंद का मूल्य = y रुपये

अत: बीजगणितीय निरूपण

3x + 6y = 3900 ………. (1) और

x + 2y = 1300 ………. (2)

समी० (1) से

3x + 6y = 3900

3(x + 2y) = 3990

या x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x700500300
 y300400500

इसी प्रकार समी० (2) से

x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x700500300
 y300400500

ग्राफीय निरूपण NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.1 2

Q3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था एक महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |   

हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया

और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया

अत: बीजगणितीय निरूपण :

2x + y = 160  ……… (1)

4x + 2y = 300 …….. (2)

ग्राफीय निरूपण : 

समी० (1) से

2x + y = 160

y = 160 – 2x

अब समी० (2) से

4x + 2y = 300

या 2x + y = 150

y = 150 – 2xNCERT Maths Solutions For Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.1 3

प्रश्नावली 3.2 

Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया | यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

माना लड़कियों की संख्या = x

तथा लड़कों की संख्या = y

प्रश्नानुसार,

लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है |

इसलिए,  x + y = 10  …….. (1)

लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |

इसलिए,  x – y = 4  …….. (2)

समी० (1) के लिए तालिका

x + y = 10

⇒ x = 10 – y

 x 5 6 7
 y 5 4 3

समी० (2) के लिए तालिका

x – y = 4

⇒ x = 4 + y

 x 5 6 7
 y 1 2 3

Maths NCERT Solutions For Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 4

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है |

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रू. है | एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए |

हल :

माना एक पेन्सिल का मूल्य = x रू०

और एक कलम का मूल्य = y रू०

प्रश्नानुसार,

5x + 7y = 50 ……… (1) और

7x + 5y = 46  ……..(2)

समी० (1) से

5x + 7y = 50

⇒ 5x = 50 – 7yNCERT Solutions For Maths Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 5Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 6

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है |NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 7

(i) 5x – 4y +8 = 0             

   7x + 6y – 9 = 0  

(ii) 9x +3y + 12 = 0               

   18x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

    2x – y + 9 = 0Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 8

हल : 

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 

    18x + 6y + 24 = 0Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 9

हल :  

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

      2x – y + 9 = 0

a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10

a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 10NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 11

हल : 

(i) 3x + 2y = 5;  2x  3y = 7      

a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5

a2 = 2, b2 = -3, c2 = 7CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 12

हल : 

(ii) 2x  3y = 8;  4x  6y = 9

a1 = 2, b1 = -3, c1 = 8

a2 = 4, b2 = -6, c2 = 9CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 13NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium

Q4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) x+y = 5,   2x +2y = 10

(ii) x – y = 8,  3x – 3y = 16

(iii) 2x + y -6 = 0, 4x- 2y – 4 = 0

(iv) 2x – 2y- 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0 

हल : NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi MediumNCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 16NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 17NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 18NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 19NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 20NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 21Download NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 22

Q5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है | बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m

और  चौड़ाई = y m है |

अर्धपरिमाप = 36 mNCERT Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 23NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 24

अत: बाग की लंबाई = 20 मीटर

और चौड़ाई = 16 मीटर

Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है | दी चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि 

(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों |           (ii) समांतर रेखाएँ हों|

(iii) संपाती रेखाएँ हों |

हल : 2x + 3y – 8 = 0  ………… (i)  (दिया है)

हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो

रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिएNCERT Maths Solutions For Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 25Maths NCERT Solutions For Class 10 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 26NCERT Solutions For Maths Class 10 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 27

Q7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए | x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए |

हल :

x – y + 1 = 0   …………. (i)

3x + 2y – 12 = 0 ………….(ii)

समीकरण (i) से

x – y + 1 = 0

या y = x + 1

अब x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 1, 2 और 3 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है –Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 28

अब इसमें x का मान 0, 2 और 4 रखने पर y का मान क्रमश: 6, 3 और 0 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है |NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 29Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 30

प्रश्नावली 3.3

Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 31

हल Q1:

(i) x + y = 14  ………… (i)

   x – y = 4    ………… (ii)

प्रतिलोपन विधि से

समीकरण (ii) से

x – y = 4

x = 4 + y

अब समीकरण (i) में x का मान 4 + y रखने पर

x + y = 14

या (4 + y) + y = 14

या 4 + 2y = 14

या 2y = 14 – 4NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 32NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi MediumCBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi MediumCBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi MediumNCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi MediumNCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi MediumNCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi MediumNCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi MediumNCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi MediumNCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 41

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है –

x = 2 और y = 3 

Q2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |

हल :

2x + 3y = 11 …………. (i)

2x – 4y = – 24 ……….. (ii)

समीकरण (i) से

2x + 3y = 11NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi MediumNCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium

अब m का मान प्राप्त करने के लिए x और y का मान y = mx + 3 में रखने परNCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium

Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :

(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल : माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |

तो प्रश्नानुसार,

स्थिति (I)

x – y = 26 …………. (i)

स्थिति (II)

x = 3y     …………. (ii)

अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर

x – y = 26Download NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल :

माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है

और छोटा कोण y है |

अत: स्थिति (II)

x – y = 18°  …………… (i)

x + y = 180°  ……….. (ii)

(संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)

अब समीकरण (i) से

x – y = 18°Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 46

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|

हल :

माना एक बल्ले का मूल्य x रुपये

और एक गेंद का मूल्य y रुपये है |

स्थित I

7 बल्ले + 6 गेंद = 3800CBSE NCERT Maths Solutions Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 47NCERT Maths Textbook Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 48

अत: एक बल्ले का मूल्य 500 रुपया है और एक गेंद का मूल्य 50 रुपया है |

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा ज्ञात कीजिए और एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा?

हल : माना टैक्सी का नियत भाडा x रुपया है |

और प्रत्येक अतिरिक्त प्रति किलोमीटर के लिए भाडा y रुपया है |

स्थिति I

x + 10y = 105 ……….. (i)

स्थिति II

x + 15y = 155 ………… (ii)

समीकरण (i) से

x + 10y = 105NCERT Maths Textbook Solutions Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 49

अत: नियत भाडा 5 रुपया और अतिरिक्त किराया 10 रुपया है |

25 km के लिए भाडा = x + 25y

= 5 + 25(10)

= 5 + 250

= 255 रुपयेNCERT Book Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 50NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 51NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 52NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 53

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है?   

हल : माना जैकब की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु y वर्ष है |

स्थिति I

पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु = x + 5 वर्ष

और उसके पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष

अत: x + 5 = 3(y + 5)
NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 54NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 55

अत: जैकब की वर्त्तमान आयु 40 वर्ष और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु 10 वर्ष है |

प्रश्नावली 3.4 

Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ? 

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4      

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 56

विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है |NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 57NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 58NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 59NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 60NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 61NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 62

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1 ​

हल :(iii) 3x – 5y – 4 = 0

या       3x – 5y = 4 ……… (i)

9x = 2y + 7

या       9x – 2y + 7
Download NCERT Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 63Download NCERT Solutions For Class 10 Maths Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 64NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 65NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 66NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = – 3

Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium 3.2 68NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 3.2 69

(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने परSolutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 3.2 70

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?

हल : माना नूरी की आयु x वर्ष

और सोनू की आयु y वर्ष

स्थिति I

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x – 5 वर्ष

सोनू की आयु = y – 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 5(y – 5)

या  x – 5 = 5y – 25

या  x – 5y = 5 – 25

या  x – 5y = – 20 ………… (i)

स्थिति II

दस वर्ष बाद,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 10 = 2(y + 10)

या  x + 10 = 2y + 20

या  x – 2y = 20 – 10

या  x – 2y = 10  ………… (ii)

(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने परNCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 3.2 71

अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |

(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |

हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |

और दहाई का अंक y है |

तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,

और पलटी हुई संख्या = 10x + y

स्थित I

x + y = 9 ……….. (i)

स्थिति II

9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)

या     9(10y + x) = 2(10x + y)

या     90y + 9x = 20x + 2y

या     20x – 9x + 2y – 90y = 0

या     11x – 88y = 0

या     x – 8y = 0

या     x = 8y ……….. (ii)

समीकरण (i) में x = 8y रखने पर

x + y = 9

या   8y + y = 9

या    9y = 9

या     y =  = 1

y = 1 समीकरण दो में रखने पर

x = 8y = 8 × 1 = 8

अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x

= 10 × 1 + 8

= 18

(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |

हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |

और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |

स्थित I

कुल नोट की संख्या = 25

अत: x + y = 25  ……….. (i)

अब स्थित II

50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये

अत:  50x + 100y = 2000

या    x + 2y = 40   ……….. (ii) (सरल करने पर)Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 3.2 72

(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |

हल : 

माना नियत किराया = x रुपया

और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया

स्थिति I

x + 7y = 27  ……… (i)

स्थिति II

x + 5y = 21 ……….. (ii)Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 3.2 73

अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन

प्रश्नावली 3.5 

Q1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |

(i) x – 3y = 0

3x – 9y – 2 = 0

(ii) 2x + y = 5

3x + 2y = 8

(iii) 3x – 5y = 20

6 x – 10y =  40

(iv) x – 3y – 7 = 0

3x – 3y – 15 = 0

Q2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

2x + 3y = 7

(a – b)x + ( a + b)y = 3a + b – 2

(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?

3x + y = 1

( 2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1

Q3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए |

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4

Q4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1  घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब         हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |

(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

प्रश्नावली 3.6 

Q1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

(i) 1/2x +1/3y – 2

1/3x  + 1/2y – 13/6

(ii) 2/x +3/y = 2

4/x – 9 /y = -1

(iii) 4/x + 3y – 14

3/x – 4y -23

(iv) 5/x -1 + 1/y – 2 – 2

6/x – 1 – 3/y – 2 – 1

(v) 7x – 2y/ xy – 5

8x + 2y/ xy – 15

(iv) 6x + 3y = 6xy

2x + 4y = 5xy

(vii) 10/x +y, + 2 /x – y,- -2

(viii) 1/3x+y,+ 1/3x – y – 3/4

1/2(3x + y) – 2(3x – y) – -1/8

Q2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है | उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए |

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात  कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा |

(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं | रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए |

प्रश्नावली 3.7 

Q 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |

Q2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘ यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा |’ दूसरा उत्तर देता है ‘ यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?

Q3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज  चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए |

Q4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक                होते, तो | पंक्ति कम होती | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

Q5. एक त्रिभुज ABC में,                           है | त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए |

Q6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x  – y = 3 के ग्राफ खींचिए | इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | इस  प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए | 

Q7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) px + qy = p – q

qx – pq = p + q

(ii) ax + by = c

bx + ay = 1 + c

(iii) x/a –  y/b = 0

ax + by = a2 + b2

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

(a + b) (x + y ) = a2 + b2

(v) 152x – 378y = -74

-378x + 152y = – 604

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