Chapter 8 Introduction to Trigonometry.
प्रश्नावली 8.1
प्र. 1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cmऔर BC = 7 cm है| निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हलः
प्र. 2. आकृति में, tan P cot R का मान ज्ञात कीजिए|
हलः
एक समकोण ΔPQR में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोगकरने पर हमें प्राप्त होता है।
प्र० 3. यदि sin A = [latex]\frac { 3 }{ 4 }[/latex], तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
हलः एक त्रिभुज ABC लें, जो कि B पर समकोण है। इससे हमें ∠Aके लिए प्राप्त होता है कि
प्र० 4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
हलः माना समकोण ΔABC में, हमें प्राप्त है।
प्र० 5. sec θ = [latex]\frac { 13 }{ 12 }[/latex], हो तोअन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हलः माना समकोण ΔABC में ∠B = 90° माना, ∠A = θ और
प्र० 6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
प्र० 9. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है,यदि tan A = [latex]\frac { 1 }{ \surd 3 }[/latex], तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) c0s A cos C sin A sin C
प्र० 10. ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR= 25 सेमी. और PQ = 5 सेमी. है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
प्र० 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य।कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A को मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = [latex]\frac { 12 }{ 5 }[/latex]
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण 8 के लिए sin θ = [latex]\frac { 4 }{ 3 }[/latex]
हलः
(i) असत्यः [चूकि, समकोण त्रिभुज में कर्ण के अतिरिक्त अन्य दो भुजाओं का अनुपात 1 के समान या असमान हो सकता है।]
(ii) सत्यः [ cos A का मान सदैव 1 से कम होता है।
[latex]\frac { 1 }{ cos A }[/latex] अर्थात् sec A का मान 1 से सदैव बड़ा होता है।]
(iii) असत्यः [cosine A को संक्षिप्त रूप ‘cos A’ होता है।]
(iv) असत्यः [अकेले ‘cot’ का कोई अर्थ नहीं है। cot A एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।]
(v) असत्यः [का मान 1 से अधिक है, जबकि sin 8 का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता]
प्रश्नावली 8.2 (NCERT Page 206)
प्र० 1. निम्नलिखित के मान निकालिएः
प्र० 2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प काऔचित्य दीजिए :
प्र० 3. यदि tan (A + B) = √3 और tan(A B) = [latex]\frac { 1 }{ \surd 3 }[/latex]; 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हलः तालिका से, हमें प्राप्त होता है:
tan 60° = √3 …(1)
चूंकि tan (A + B) = √3 [ज्ञात है] …(2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है।
A + B = 60° ………(3)
इसी प्रकार,
A B = 30° ………. (4)
(3) और (4) को जोड़ने पर, 2A = 90° ⇒ A = 45°
(3) में से (4) को घटाने पर, 2B = 30° ⇒ B = 15°
प्र० 4. बताइए कि निम्नलिखित में कौनकौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ केमान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हलः (i) माना
A = 30° और B = 60°
L.H.S. = sin (30° + 60°) = sin 90° = 1
R.H.S. = sin 30° + sin 60° = [latex]\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \surd 3 }{ 2 } =\frac { 1+\surd 3 }{ 2 }[/latex]
L.H.S. ≠ R.H.S.
कथन “sin (A+ B) = sin A + sin B” असत्य है।
(ii) चूँकि “जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin θ का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।”
दिया गया कथन सही है।
(iii) चूँकि “जब θ का माप 0° से 90° तक बढ़ता है, तो cos θ का मान 1 से 0 तक घटता है।”
दिया गया कथन असत्य है।
(iv) माना θ = 30° है।
तालिका से हमें प्राप्त होता है: sin 30° = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] और cos 30° = [latex]\frac { \surd 3 }{ 2 }[/latex]
sin 30° ≠ cos 30°
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(v) तालिका से हमें प्राप्त है: cot 0° = अपरिभाषित
अतः दिया गया कथन सत्य है।
प्रश्नावली 8.3 (NCERT Page 209)
प्र० 1. निम्नलिखित कामान निकालिएः
(iii) cos 48° – sin 42°
हल: cos 48° – sin 42°
⇒ sin(90° – 48°) – sin 42°
⇒ sin 42° – sin 42° = 0
(iv) cosec 31° – sec59°
हल: cosec 31° – sec 59°
⇒ sec (90° – 31°) – sec 59° [ cosec q = sec (90° – q) ]
⇒ sec 59° – sec 59° = 0
प्र० 2. दिखाइए कि
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
प्र० 3. यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एकन्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|
हल: tan 2A = cot (A – 18°),
⇒ cot (90° – 2A) = cot(A – 18°)
दोनों पक्षों में तुलना करने पर
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°
प्र० 4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल: tan A = cot B दिया है |
⇒ tan A = tan (90° – B)
तुलना करने पर
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
Proved.
प्र० 5. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|
हल: sec 4A = cosec(A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec(A – 20°) [sec q = (90°- q)]
तुलना करने पर
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 90° + 20° = A + 4A
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°
प्र० 7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए|
प्रश्नावली 8.4 (NCERT Page 213)
प्र० 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A औरtan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
प्र० 4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टिकीजिए:
प्र० 5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :
